소수란1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 자연수로는 나누어 떨어지지 않는 자연수
6은 1, 2, 3, 6으로 나누어 떨어지므로 소수가 아님
7은 1과 7을 제외하고는 나누어 떨어지지 않으므로 소수
코딩 테스트에서는 어떠한 자연수가 소수인지 아닌지 판별해야 하는 문제가 자주 출제됨
# 소수의 판별: 기본적인 알고리즘 (Python)
# 소수 판별 함수 (2이상의 자연수에 대하여)
def is_prime_number(x):
# 2부터 (x - 1)까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2, x):
# x가 해당 수로 나누어 떨어진다면
if x % i == 0:
return False # 소수가 아님
return True # 소수임
print(is_prime_number(4))
print(is_prime_number(7))
>>> False
>>> True
소수의 판별: 기본적인 알고리즘 성능 분석
2부터 X-1까지의 모든 자연수에 대하여 연산을 수행해야 함
모든 수를 하나씩 확인한다는 점에서 시간 복잡도는 O(X)
약수의 성질
모든 약수가 가운데 약수를 기준으로 곱셈 연산에 대해 대칭을 이루는 것을 알 수 있음
예를 들어 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16
이 때 2 X 8 = 16은 8 X 2 = 16과 대칭
따라서 우리는 특정한 자연수의 모든 약수를 찾을 때 가운데 약수(제곱근)까지만 확인하면 됨
예를 들어 16이 2로 나누어 떨어진다는 것은 8로도 나누어 떨어진다는 것을 의미
# 소수의 판별: 개선된 알고리즘 (Python)
import math
# 소수 판별 함수 (2이상의 자연수에 대하여)
def is_prime_number(x):
# 2부터 x의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2, int(math.sqrt(x)) + 1):
# x가 해당 수로 나누어 떨어진다면
if x % 1 == 0:
return False # 소수가 아님
return True # 소수임
print(is_prime_number(4))
print(is_prime_number(7))
>>> False
>>> True
소수의 판별: 개선된 알고리즘 성능 분석
2부터 X의 제곱근(소수점 이하 무시)까지의 모든 자연수에 대하여 연산을 수행
시간 복잡도는 O(N½)
다수의 소수 판별
하나의 수에 대해서 소수인지 아닌지 판별하는 방법을 알아보았음
하지만 특정한 수의 범위 안에 존재하는 모든 소수를 찾아야 할 때는?
에라토스테네스의 체 알고리즘을 사용할 수 있음
에라토스테네스의 체 알고리즘
다수의 자연수에 대하여 소수 여부를 판별할 때 사용하는 대표적인 알고리즘
에라토스테네스의 체는 N보다 작거나 같은 모든 소수를 찾을 때 사용 가능
에라토스테네스의 체 알고리즘의 구체적인 동작 과정은 다음과 같음
2부터 N까지의 모든 자연수를 나열
남은 수 중에서 아직 처리하지 않은 가장 작은 수 i를 찾음
남은 수 중에서 i의 배수를 모두 제거 (i는 제거하지 않음)
더 이상 반복할 수 없을 때까지 2번과 3번의 과정을 반복
# 에라토스테네스의 체 알고리즘 (Python)
import math
n = 1000 # 2부터 1,000까지의 모든 수에 대하여 소수 판별
# 처음엔 모든 수가 소수(True)인 것으로 초기화(0과 1은 제외)
array = [True for i in range(n + 1)]
# 에라토스테네스의 체 알고리즘 수행
# 2부터 n의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
if array[i] == True: # i가 소수인 경우(남은 수인 경우)
# i를 제외한 i의 모든 배수를 지우기
j = 2
while i * j <= n:
array[i * j] = False
j += 1
# 모든 소수 출력
for i in range(2, n + 1):
if array[i]:
print(i, end=' ')
에라토스테네스의 체 알고리즘 성능 분석
에라토스테네스의 체 알고리즘의 시간 복잡도는 사실상 선형 시간에 가까울 정도로 매우 빠름
시간 복잡도는 O(NloglogN)
에라토스테네스의 체 알고리즘은 다수의 소수를 찾아야 하는 문제에서 효과적으로 사용될 수 있음
하지만 각 자연수에 대한 소수 여부를 저장해야 하므로 메모리가 많이 필요
10억이 소수인지 아닌지 판별해야 할 때 에라토스테네스의 체를 사용할 수 있을까?
경우에 따라서 메모리 측면에서 매우 비효율적으로 동작할 수 있음
투 포인터 (Two Pointers)
투 포인터 알고리즘은리스트에 순차적으로 접근해야 할 때 두 개의 점의 위치를 기록하면서 처리하는 알고리즘을 의미
흔히 2, 3, 4, 5, 6, 7번 학생을 지목해야 할 때 간단히 '2번부터 7번까지의 학생'이라고 부르곤 함
리스트에 담긴 데이터에 순차적으로 접근해야 할 때는시작점과 끝점 2개의 점으로 접근할 데이터의 범위를 표현할 수 있음
문제: 특정한 합을 가지는 부분 연속 수열 찾기
문제 해결 아이디어
투 포인터를 활용하여 다음과 같은 알고리즘으로 문제를 해결할 수 있음
시작점(start)과 끝점(end)이 첫 번째 원소의 인덱스(0)를 가리키도록 함
현재 부분 합이 M과 같다면, 카운트 함
현재 부분 합이 M보다 작다면, end를 1 증가시킴
현재 부분 합이 M보다 크거나 같다면, start를 1 증가시킴
모든 경우를 확인할 때까지 2번부터 4번까지의 과정을 반복
n = 5 # 데이터의 개수 N
m = 5 # 찾고자 하는 부분합 M
data = [1, 2, 3, 2, 5] # 전체 수열
count = 0
interval_sum = 0
end = 0
# start를 차례대로 증가시키며 반복
for start in range(n):
# end를 가능한 만큼 이동시키기
while interval_sum < m and end < n:
interval_sum += data[end]
end += 1
# 부분합이 m일 때 카운트 증가
if interval_sum == m:
count += 1
interval_sum -= data[start]
print(count)
>>> 3
구간 합 (Interval Sum)
구간 합 문제: 연속적으로 나열된 N개의 수가 있을 때 특정 구간의 모든 수를 합한 값을 계산하는 문제
예를 들어 5개의 데이터로 구성된 수열 {10, 20, 30, 40, 50}이 있다고 가정
두 번째 수부터 네 번째 수까지의 합은 20 + 30 + 40 = 90
문제: 구간 합 빠르게 계산하기
문제 해결 아이디어
접두사 합(Prefix Sum): 배열의 맨 앞부터 특정 위치까지의 합을 미리 구해 놓은 것
접두사 합을 활용한 알고리즘은 다음과 같음
N개의 수 위치 각각에 대하여 접두사 합을 계산하여 P에 저장
매 M개의 쿼리 정보를 확인할 때 구간 합은 P[Right] - P[Left - 1]
# 데이터의 개수 N과 데이터 입력 받기
n = 5
data = [10, 20, 30, 40, 50]
# 접두사 합(Prefix Sum) 배열 계산
sum_value = 0
prefix_sum = [0]
for i in data:
sum_value += i
prefix_sum.append(sum_value)
# 구간 합 계산(세 번째 수부터 네 번째 수까지)
left = 3
right = 4
print(prefix_sum[right] - prefix_sum[left - 1])
>>> 70
